SIAM Journal on Numerical Analysis, Volume 61, Issue 2, Page 812-836, April 2023.
Abstract. An extra-stabilized Morley finite element method (FEM) directly computes guaranteed lower eigenvalue bounds with optimal a priori convergence rates for the bi-Laplacian Dirichlet eigenvalues. The smallness assumption [math] [math] in 2D (resp., [math] in 3D) on the maximal mesh-size [math] makes the computed [math]th discrete eigenvalue [math] a lower eigenvalue bound for the [math]th Dirichlet eigenvalue [math]. This holds for multiple and clusters of eigenvalues and serves for the localization of the bi-Laplacian Dirichlet eigenvalues, in particular for coarse meshes. The analysis requires interpolation error estimates for the Morley FEM with explicit constants in any space dimension [math], which are of independent interest. The convergence analysis in 3D follows the Babuška–Osborn theory and relies on a companion operator for the Morley finite element method. This is based on the Worsey–Farin 3D version of the Hsieh–Clough–Tocher macro element with a careful selection of center points in a further decomposition of each tetrahedron into 12 subtetrahedra. Numerical experiments in 2D support the optimal convergence rates of the extra-stabilized Morley FEM and suggest an adaptive algorithm with optimal empirical convergence rates.

中文翻译：

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双拉普拉斯算子具有最优先验收敛率的直接保证下特征值界

SIAM Journal on Numerical Analysis，第 61 卷，第 2 期，第 812-836 页，2023 年 4 月。
抽象的。一种额外稳定的 Morley 有限元法 (FEM) 直接计算具有双拉普拉斯狄利克雷特征值的最佳先验收敛率的保证特征值下界。最大网格尺寸 [math] 上的 2D 中的小假设 [math] [math]（分别为 3D 中的 [math]）使得计算出的第 [math] 个离散特征值 [math] 成为 [math] 的特征值下界]th Dirichlet 特征值 [数学]。这适用于多个特征值和特征值簇，并用于双拉普拉斯 Dirichlet 特征值的定位，特别是对于粗网格。该分析需要在任何空间维度 [math] 中具有显式常数的 Morley FEM 的插值误差估计，这是独立的兴趣。3D 中的收敛分析遵循 Babuška–Osborn 理论并依赖于 Morley 有限元方法的伴随算子。这是基于 Hsieh-Clough-Tocher 宏单元的 Worsey-Farin 3D 版本，在将每个四面体进一步分解为 12 个子四面体时仔细选择了中心点。二维数值实验支持超稳定 Morley FEM 的最佳收敛速度，并提出具有最佳经验收敛速度的自适应算法。